|

Спектр собственных значений квантовых интегрируемых систем

Авторы: Гурченков А.А. Опубликовано: 24.12.2015
Опубликовано в выпуске: #6(63)/2015  
DOI: 10.18698/1812-3368-2015-6-3-15

 
Раздел: Математика | Рубрика: Математическая физика  
Ключевые слова: многопараметрические потенциалы, скобки Пуассона, уравнение Шредингера, теорема Штурма-Лиувилля

Исследован спектр собственных значений квантовых систем, допускающих в классическом пределе существование квадратичных по импульсам первых интегралов. Показано, что переход от классической интегрируемой модели к квантовой является однозначным, если интегралы классической динамической системы зависят от импульсов квадратично. В этом случае квантовая интегрируемая модель допускает те же три класса интегрируемых потенциалов, что и классическая. Рассмотрены классы многопараметрических потенциалов, первый из которых асимптотически изотропен и представляет собой бесконечно глубокую яму с конечным числом критических точек, сосредоточенных в конечной области плоскости. Второй класс многопараметрических потенциалов является двумерным потенциальным барьером. Третий класс многопараметрических потенциалов - это двумерная потенциальная яма конечной глубины, которая рассмотрена в качестве примера.

Литература

[1] Fordy A.P. Hamiltonian symmetries of the Henon-Heiles systems // Phys. Lett. 1983. Vol. 97A. No. 1-2. P. 21-23.

[2] Romani A., Dorizzi B., Grammaticos B. Painleve conjecture revisited // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 49. No. 21. P. 1539-1541.

[3] Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38. № 1. С. 3-67.

[4] Колокольцов В.Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1982. Т. 46. № 5. С. 994-1010.

[5] Hientarinta J. Integrable families of Henon-Heiles - type Hamiltonians and a new duality // Phys. Rev. A. 1983. Vol. 28. No. 6. Р. 3670-3671.

[6] Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Интегрируемые модели в задаче о движении частицы в двумерной потенциальной яме // ЖЭТФ. 1983. Т. 85. № 4 (10). С. 1437-1445.

[7] Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. О новых случаях интегрируемости уравнений Ландау - Лифшица // ЖЭТФ. 1983. Т. 84. № 2. С. 616-628.

[8] Лерман Л.М., Уманский Н.Л. Необходимые условия существования гетероклинических траекторий в интегрируемой гамильтоновой системе с двумя степенями свободы // УМН. 1983. Т. 38. № 5. С. 195-196.

[9] Лерман Л.М., Уманский Н.Л. О существовании петель сепаратрис в четырехмерных системах, близких к интегрируемым // ПММ. 1983. Т. 47. № 3. С. 395-403.

[10] Hose G., Taylor H.S. Quantum Kolmogorov-Arnol’d-Moser - like theorem: fundamentals of localization in quantum theory // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 51. No. 11. Р. 947-950.

[11] Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments // Astron. J. 1964. Vol. 69. No. 1. Р. 73-79.

[12] Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. Локализованные и периодические решения в моделях нелинейного скалярного поля. М.: ВЦ РАН, 2004. 87 с.

[13] Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. Об узорах симметрии в простых моделях нелинейного скалярного поля. М.: ВЦ РАН, 2005. 190 с.

[14] Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. Слоистые структуры в нелинейных векторных полях. М.: ВЦ РАН, 2005. 130 с.

[15] Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. О сопоставлении бифуркаций в классической и квантовой механике. М.: ВЦ РАН, 2009. 87 с.

[16] Гурченков А.А. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении. Динамика неоднородных систем // Труды ИСА РАН. 2008. Т. 32 (3). С. 8-17.