Периодические колебания неоднородной струны с закрепленными концами

Рассмотрена задача о периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения с коэффициентами общего вида, зависящими от переменной х. Доказано существование счетного числа периодических решений в случае однородных граничных условий Дирихле на отрезке, если нелинейное слагаемое имеет степенной рост. Доказательство проведено вариационным методом. Периодические решения являются критическими точками функционала энергии, существование которых доказывается с помощью метода Файрайсла. В случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности, приведены формулировка теоремы о существовании и регуляризации по крайней мере одного периодического решения, а также условия, при которых периодическое решение единственно. Доказательство теоремы получено с использованием принципа Лере-Шаудера о неподвижной точке и опирается на ранние работы автора настоящей статьи.

Литература

[1] Barby V., Pavel N.H. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x-dependent coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 1997. Vol. 349. No. 5. P. 2035-2048.

[2] Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math. 1978. Vol. 31. No. 1. P. 31-68.

[3] Bahri A., Brezis H. Periodic solutions of a nonlinear wave equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1980. Vol. 85. P. 310-320.

[4] Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. 1978. Vol. 31. No. 1. P. 1-30.

[5] Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Матем. Сб. 1988. Т. 136 (178). № 4 (8). С. 546-560.

[6] Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // chechosl. Math. J. 1988. Vol. 38. No. 1. P. 78-87.

[7] Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., Мех. 1984. № 2. С. 9-13.

[8] Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Матем. заметки. 2004. Т. 76. Вып. 3. С. 427438.

[9] Shuguan J. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependent coefficients // Calc. Var. 2008. Vol. 32. P. 137-153.

[10] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами // Матем. Сб. 2007. Т. 198. № 4 (8). С. 546-560.

[11] Кондратьев В.А., Рудаков И.А. О периодических решениях квазилинейного волнового уравнения // Матем. заметки. 2009. Т. 85. Вып. 1. С. 36-53.

[12] Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003. 351 с.

[13] Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Известия РАН. Сер. Матем. 2006. № 1. С. 1-10.

[14] Feirisl E. On the existence of the multiplicity periodic solutions of rectangle thin plate // Chechosl. Math. J. 1998. Vol. 37. No. 2. P. 334-341.

[15] Рудаков И.А. О периодических по времени решениях квазилинейного волнового уравнения // Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 226-232.