|

Вычислительная диагностика неустойчивых по Якоби динамических систем с использованием гибридных алгоритмов глобальной оптимизации

Авторы: Шкапов П.М., Сулимов А.В., Сулимов В.Д. Опубликовано: 26.08.2021
Опубликовано в выпуске: #4(97)/2021  
DOI: 10.18698/1812-3368-2021-4-40-56

 
Раздел: Математика | Рубрика: Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление  
Ключевые слова: динамическая система, управление, устойчивость по Якоби, геометрический инвариант, вычислительная диагностика, глобальная оптимизация, гибридный алгоритм

Рассмотрены задачи восстановления и анализа свободных параметров динамических систем по косвенной, приближенно заданной информации. В контексте теории Косамби --- Картана --- Черна введено геометрическое описание эволюции системы во времени. Для исследуемой системы определены пять геометрических инвариантов. Собственные значения второго инварианта дают оценку устойчивости системы по Якоби. Подобное исследование представляет интерес в практических приложениях, где требуется идентифицировать области, в которых имеют место одновременно устойчивость по Ляпунову и устойчивость по Якоби. Сформулирована обратная задача вычислительной диагностики системы по заданным приближенно собственным значениям второго инварианта. Решение регуляризованной обратной задачи определено с использованием оптимизационного подхода. Скалярные критериальные функции предполагаются непрерывными, многомерными, локально липшицевыми, не обязательно всюду дифференцируемыми. При поиске глобальных решений применены новые гибридные алгоритмы, интегрирующие стохастические алгоритмы сканирования пространства переменных и детерминированная процедура локальной минимизации. Численная процедура сканирования реализована с использованием двух модифицированных версий кратного алгоритма столкновения частиц (обучение с построением квазиоппозиций и обучение методом вращений). В фазе локального поиска введены двухпараметрические сглаживающие аппроксимации критериальных функций. Приведены примеры решения задач вычислительной диагностики неустойчивых по Якоби динамических систем: системы Лоренца и эллиптического маятника с управлением

Литература

[1] Hafstein S.F., Valfells A. Efficient computation of Lyapunov functions for nonlinear systems by integrating numerical solutions. Nonlinear Dyn., 2019, vol. 97, no. 3, pp. 1895--1910. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-018-4729-5

[2] Квасов Д.Е., Сергеев Я.Д. Методы липшицевой глобальной оптимизации в задачах управления. Автоматика и телемеханика, 2013, № 9, с. 3--19.

[3] Велищанский М.А., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Синтез алгоритмов переориентации космического аппарата на основе концепции обратной задачи динамики. Известия РАН. Теория и системы управления, 2003, № 5, с. 156--163.

[4] Colombo L.A. A variational-geometric approach for the optimal control of nonholonomic systems. Int. J. Dynam. Control, 2018, vol. 6, no. 2, pp. 652--662. DOI: https://doi.org/10.1007/s40435-017-0326-6

[5] Bloch A.M., Gupta F., Kolmanovsky I.V. Neighboring external optimal control for mechanical systems on Riemannian manifolds. J. Geom. Mech., 2016, vol. 8, iss. 3, pp. 257--272. DOI: http://dx.doi.org/10.3934/jgm.2016007

[6] Bohmer C.G., Harko T., Sabau S.V. Jacobi stability analysis of dynamical systems --- applications in gravitation and cosmology. Adv. Theor. Math. Phys., 2012, vol. 16, no. 4, pp. 1145--1196. DOI: http://dx.doi.org/10.4310/ATMP.2012.v16.n4.a2

[7] Harko T., Pantaragphong P., Sabau S.V. Kosambi --- Cartan --- Chern (KCC) theory for higher order dynamical systems. Int. J. Geom. Methods M., 2016, vol. 13, no. 2, art. 1656014. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219887816500146

[8] Abolghasem H. Liapunov stability versus Jacobi stability. J. Dyn. Syst. Geom. Theor., 2012, vol. 10, iss. 1, pp. 13--32. DOI: https://doi.org/10.1080/1726037X.2012.10698604

[9] Лаврентьев М.М., Жаринов С.Ю., Зекаль С.М. и др. Вычислительная диагностика поверхностных характеристик протяженных цилиндрических объектов методами активной локации. Сибирский журнал индустриальной математики, 2002, т. 5, № 1, с. 105--113.

[10] Charles C., Bish A., Boswell R.W., et al. A short review of experimental and computational diagnostics for radiofrequency plasma micro-thrusters. Plasma Chem. Plasma Process., 2016, vol. 36, no. 1, pp. 29--44. DOI: https://doi.org/10.1007/s11090-015-9654-5

[11] Oulas A., Minadakis G., Zachariou M., et al. Systems Bioinformatics: increasing precision of computational diagnostics and therapeutics through network-based approaches. Brief. Bioinformatics, 2019, vol. 20, iss. 3, pp. 806--824. DOI: https://doi.org/10.1093/bib/bbx151

[12] Wang Y., Yang C., Yagola A.G. (eds). Optimization and regularization for computational inverse problems and applications. Berlin, Heidelberg, Springer, 2010. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-13742-6

[13] Andreev R. Tikhonov and Landweber convergence rates: characterization by interpolation spaces. Inverse Probl., 2015, vol. 31, no. 10, art. 105007. DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/31/10/105007

[14] Sprung B., Hohage T. Higher order convergence rates for Bregman iterated variational regularization of inverse problems. Numer. Math., 2019, vol. 141, no. 2, pp. 215--252. DOI: https://doi.org/10.1007/s00211-018-0987-x

[15] Xu Y.-T., Zhang Y., Wang S.-G. A modified tunneling function method for non-smooth global optimization and its applications in artificial neural network. Appl. Math. Model., 2015, vol. 39, iss. 21, pp. 6438--6450. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2015.01.059

[16] Harko T., Ho C.Y., Leung C.S., et al. Jacobi stability analysis of the Lorenz system. Int. J. Geom. Methods M., 2015, vol. 12, no. 7, art. 1550081. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219887815500814

[17] Yajima T., Yamasaki K. Jacobi stability for dynamical systems of two-dimensional second-order differential equations and application to overhead crane system. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 2016, vol. 13, no. 4, art. 1650045. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219887816500456

[18] Custodio A.L., Madeira J.F.A. GLODS: global and local optimization using direct search. J. Glob. Optim., 2015, vol. 62, no. 1, pp. 1--28. DOI: https://doi.org/10.1007/s10898-014-0224-9

[19] Du Y., Ruszczynski A. Rate of convergence of the bundle method. J. Optim. Theory Appl., 2017, vol. 173, no. 3, pp. 908--922. DOI: https://doi.org/10.1007/s10957-017-1108-1

[20] Davis D., Drusvyatskiy D., MacPhee K.J., et al. Subgradient methods for sharp weakly convex functions. J. Optim. Theory Appl., 2018, vol. 179, no. 3, pp. 962--982. DOI: https://doi.org/10.1007/s10957-018-1372-8

[21] Curtis F.E., Robinson D.P., Zhou B. A self-correcting variable-metric algorithm framework for nonsmooth optimization. IMA J. Numer. Anal., 2020, vol. 40, iss. 2, pp. 1154--1187. DOI: https://doi.org/10.1093/imanum/drz008

[22] Floudas C.A., Gounaris C.E. A review of recent advances in global optimization. J. Glob. Optim., 2009, vol. 45, no. 1, pp. 3--38. DOI: https://doi.org/10.1007/s10898-008-9332-8

[23] Zilinskas A., Zhigljavsky A. Stochastic global optimization: a review on the occasion of 25 years of Informatica. Informatica, 2016, vol. 27, no. 2, pp. 229--256.

[24] Liu J., Zhang S., Wu C., et al. A hybrid approach to constraint global optimization. Appl. Soft Comput., 2016, vol. 47, pp. 281--294. DOI: https://doi.org/10.1016/j.asoc.2016.05.021

[25] Torres R.H., de Campos Velho H.F., da Luz E.F.P. Enhancement of the Multi-Particle Collision Algorithm by mechanisms derived from the opposition-based optimization. Sel. Mat., 2019, vol. 6, no. 2, pp. 156--177.

[26] Torres R.H., de Campos Velho H.F. Rotation-based sampling Multi-Particle Collision Algorithm with Hooke --- Jeeves. Proc. Ser. Brazil. Soc. Comput. Appl. Math., 2017, vol. 5, no. 1, art. 01473. DOI: https://doi.org/10.5540/03.2017.005.01.0473

[27] Xu J., Yan F., Yun K., et al. Dynamically dimensioned search embedded with piecewise opposition-based learning for global optimization. Sci. Program., 2019, vol. 2019, art. 2401818. DOI: https://doi.org/10.1155/2019/2401818

[28] Сулимов В.Д., Шкапов П.М., Сулимов А.В. Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров, с использованием гибридных алгоритмов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2016, № 5 (68), с. 46--66. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2016-5-46-66