|

Построение приближенных решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в области аналитичности

Авторы: Пчелова А.З. Опубликовано: 15.06.2016
Опубликовано в выпуске: #3(66)/2016  
DOI: 10.18698/1812-3368-2016-3-3-15

 
Раздел: Математика | Рубрика: Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление  
Ключевые слова: нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, подвижная особая точка, задача Коши, аналитическое приближенное решение, погрешность приближенного решения, возмущение начального условия, область аналитичности

Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений окружающего мира, являются одной из сложных категорий дифференциальных уравнений в силу наличия у их интегралов подвижных особых точек. Рассмотрен класс нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с полиномиальной правой частью не ниже третьей степени, решения которых обладают подвижными особыми точками, в общем случае не интегрируемые в квадратурах. Применен приближенный метод решения нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками алгебраического типа, предложенный В.Н. Орловым. Приведено доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для рассматриваемого класса дифференциальных уравнений в области аналитичности. В доказательстве этой теоремы метод мажорант использован для решения нелинейных дифференциальных уравнений, а не правой части дифференциальных уравнений, как это сделано в классической литературе. Предложена структура аналитических приближенных решений рассматриваемых уравнений с точными и возмущенными значениями начальных условий, приведены оценки погрешностей этих приближенных решений. Дано сравнение результатов расчетов с аналогичными результатами расчетов, выполненными другими авторами.

Литература

[1] Лукашевич Н.А., Орлов В.Н. Исследование приближенного решения второго уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 10. С. 1829-1832.

[2] Орлов В.Н. О приближенном решении первого уравнения Пенлеве // Вестник Казанского гос. тех. ун-та им. А.Н. Туполева. 2008. № 2. С. 42-46.

[3] Орлов В.Н. Метод приближенного решения дифференциального уравнения Риккати // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского гос. политех. ун-та. 2008. № 63. С. 102-108.

[4] Орлов В.Н. Об одном методе приближенного решения матричных дифференциальных уравнений Риккати // Вестник Московского авиац. ин-та. 2008. Т. 15. № 5. С. 128-135.

[5] Орлов В.Н. Точные границы области применения приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки // Вестник Воронежского гос. тех. ун-та. 2009. Т. 5. № 10. С. 192-195.

[6] Орлов В.Н. Метод приближенного решения первого, второго дифференциальных уравнений Пенлеве и Абеля. М.: МИГУ, 2013. 174 с.

[7] Орлов В.Н., Гузь М.П. Приближенное решение в области аналитичности одного нелинейного дифференциального уравнения // Вестник Мордовского гос. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2012. № 2. С. 187-191.

[8] Орлов В.Н., Леонтьева Т.Ю. Построение приближенного решения одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности подвижной особой точки // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 2. С. 26-37. DOI: 10.18698/1812-3368-2о15-2-26-37

[9] Орлов В.Н., Иванов С.А. Приближенное решение в области аналитичности одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2014. № 4 (22). С. 204-214.

[10] Орлов В.Н., Редкозубов С.А., Пчелова А.З. Исследование приближенного решения задачи Коши одного нелинейного дифференциального уравнения в окрестности подвижной особой точки // Известия института инженерной физики. 2013. № 2 (28). С. 21-27.

[11] Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 436 с.