Сравнение способов аппроксимации функции множителей Лагранжа при решении контактных задач методом с независимой границей контакта

Аннотация

Рассмотрена контактная задача теории упругости в статической пространственно двумерной постановке без учета трения. Для дискретизации уравнений теории упругости применен метод конечных элементов с использованием треугольной неструктурированной сетки и линейных и квадратичных базисных функций. Для учета контактных граничных условий предложен модифицированный метод множителей Лагранжа с независимой границей контакта. Указанный метод подразумевает возможность строить границу контакта с необходимой для точности решения степенью гладкости и проводить независимую от сеток внутри контактирующих тел аппроксимацию функции множителей Лагранжа. Изучены различные виды аппроксимаций функции множителей Лагранжа --- кусочно-постоянными, непрерывными кусочно-линейными функциями и кусочно-линейными функциями с разрывами на границах разностных ячеек. Проведены примеры тестовых расчетов как для задач с прямолинейной, так и с криволинейной границами контакта. В обоих случаях использование разрывных аппроксимаций функции множителей Лагранжа позволяет получить численное решение с меньшим числом искусственных осцилляций и более высокой скоростью сходимости при измельчении сетки. Показано, что точность численного решения может быть повышена путем более подробной дискретизации границы контакта без изменения сеток внутри контактирующих тел

Исследование выполнено за счет гранта РНФ (грант № 22-21-00260)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Галанин М.П., Лукин В.В., Соломенцева П.В. Сравнение способов аппроксимации функции множителей Лагранжа при решении контактных задач методом с независимой границей контакта. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 6 (105), с. 17--32. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-6-17-32

Литература

[1] Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск, СО РАН, 2000.

[2] Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М., Мир, 1989.

[3] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов. Изв. РАН. МТТ, 2005, № 1, с. 45--87.

[4] Papadopoulos P., Solberg J.M. A Lagrange multiplier method for the finite element solution of frictionless contact problems. Math. Comp. Model., 1998, vol. 28, iss. 4-8, pp. 373--384. DOI: https://doi.org/10.1016/S0895-7177(98)00128-9

[5] Wriggers P. Computational contact mechanics. Berlin, Heidelberg, Springer, 2006. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-32609-0

[6] Бабин А.П., Зернин М.В. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия с использованием положений механики контактной псевдосреды. Изв. РАН. МТТ, 2009, № 4, с. 84--107.

[7] Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел. Прикладная механика, 1980, т. 16, № 1, с. 13--18.

[8] Галанин М.П., Лукин В.В., Родин А.С. и др. Применение метода Шварца для моделирования контактного взаимодействия системы тел. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2015, т. 55, № 8, с. 1429--1443. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466915080104

[9] Neto A.G., Wriggers P. Computing pointwise contact between bodies: a class of formulations based on master--master approach. Comput. Mech., 2019, vol. 64, no. 3, pp. 585--609. DOI: https://doi.org/10.1007/s00466-019-01680-9

[10] Neto A.G., Wriggers P. Numerical method for solution of pointwise contact between surfaces. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 2020, vol. 365, art. 112971. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cma.2020.112971

[11] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В. и др. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2015, № 89.

[12] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В. и др. Сравнение вариантов метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017, № 5 (74), с. 35--48. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2017-5-35-48

[13] Аронов П.С., Галанин М.П., Родин А.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов твэла с учетом ползучести на основе mortar-метода. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2020, № 110. DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2020-110

[14] Лукин В.В., Соломенцева П.В. Модификация метода множителей Лагранжа с независимой контактной границей для моделирования контакта упругих тел. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2020, № 70. DOI: http://doi.org/10.20948/prepr-2020-70

[15] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

[16] Демидов С.П. Теория упругости. М., Высш. шк., 1979.

[17] Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. Введение в метод конечных элементов. Ижевск, Удмуртский ун-т, 2011.