9 / 21
О.В. Щерица, А.О. Гусев, О.С. Мажорова
126
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
Если отрезок интегрирования
1/2 1/2
[
,
]
i
i
y y
не содержит границу раздела фаз
*
(
),
i i
то
1/2
1/2
= ,
i
i
c
c
1/2
1/2
= ,
i
i
l
l
и при вычислении интеграла нет необходи-
мости разбивать область интегрирования на отрезки, расположенные слева и
справа от точки
.
i
y
Представление (31) обеспечивает однородную, не завися-
щую от номера узла, форму записи разностной аппроксимации производной по
времени.
Интеграл от второго слагаемого в левой части (30) также разобьем на две
части и при его вычислении учтем, что
t
t
( 0) = ( 0)
i
i
T y
T y
и
t
*
( ) = :
t
i
d y
d
1/2
2
1/2
t
1/2
t
1/2
1/2
t
t
1/2
1/2
t
1/2
t
1/2
1/2 t
1/2 t
1/2
1/2 t
1/2
=
=
=
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )(
)
( )(
) .
y
t
y
i
k
i
i
i
t
y
y
k
i
i
t k
i
i
i
i
i
i
t k
i
i
i
i
i
i
i
I
dt
c
T dy
c
T dy
y
y
c
T y
T y
c
T y
T y dt
c
c
T c
T y
c
T y
(32)
Произведение
t
T
в полуцелых точках вычисляется по формуле
t
1/2
t
1/2
1
( )(
)
(
)(
)/2.
i
i
i
i
T y
y T T
Перейдем к вычислению интеграла, стоящего в правой части равенства (30).
Тепловой поток непрерывен в регулярной точке, а на границе раздела фаз ис-
пытывает скачок, величина которого определяется из условия Стефана (22), по-
этому приближенное выражение для интеграла
3
I
можно записать в виде
1/2
3
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
= [
] =
[
(
)
(
)],
t
y
t
i
i
k
t
y
y
k
i
i
y
y
i
i
ii
i
i
y
T
T
I
dt
dy
dy
y l
y
y l
y
d
T
T
d
l
l
(33)
где
ii
— символ Кронекера.
Для интеграла источника теплоты получим следующую аппроксимацию:
1/2
4
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
=
(
)
(
) =
ˆ
ˆ
(
)
(
) .
2
2
y
t
y
i
k
i
t
y
y
k
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
dt
l
T dy
l
T dy
h
h
l
T
l
T
(34)
Заменив в (30) интегралы приближенными формулами (31)–(34), получим
умноженную на площадь ячейки дивергентную разностную схему для уравне-
ний (21):