8 / 21
Об одном методе решения задачи кристаллизации многокомпонентного раствора…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
125
сетки
1/2
1/2
=
.
y
i
i
i
y
y
Разностную сетку по времени обозначим как
0
1
= { = 0,
= ,
t
k
k
t
t
t
= 0,1,
},
k
—шаг сетки по времени.
Сеточные функции температуры и концентрации будем относить к узлам
сетки. Пусть
( )
= ,
,
j
f T C
= , , = A, B,
s l j
тогда
( , ) = .
i j
i
f y t
f
Доопределим эти
функции в интервалах между узлами:
( , ) = ( , )
j
i j
f y t
f y t
при
1/2
1/2
(
,
),
i
i
y y y
*
.
i i
В силу непрерывности температуры на границе раздела фаз,
*
*
0
0
= .
i
i
T T
Концентрация на фазовой границе терпит разрыв, поэтому в точке
*
i
задаются
два ее значения
( )
* 0
( ) =
s j
i
jC C
и
( )
* 0
( ) = ,
l j
i
jC C
( )
,
s j
C
( )
l j
C
— равновесные концен-
трации, удовлетворяющие фазовой диаграмме системы;
( )
( )
* 0
( , ) = ,
j
j
k
i
C y t
C
если
*
*
1/2
(
,
)
i
i
y y
y
и
( )
( )
* 0
( , ) = ,
j
j
k
i
C y t
C
если
*
* 1/2
( ,
).
i
i
y y y
Для единообразия в
регулярных точках
(
)
i i
также будем использовать обозначения
( )
0
j
i
C
и
( )
0
,
j
i
C
( )
( )
( )
0
0
= = .
j
j
j
i
i
i
C C C
Далее тильду над
( )
,
j
T C
опустим. Длина зоны, удельная теп-
лоемкость, коэффициенты температуропроводности, коэффициенты диффузии
относятся к полуцелым узлам сетки. Слева и справа от точки
*
i
эти функции
постоянны и принимают значения, соответствующие твердой и жидкой фазам.
Разностную производную по времени обозначим
,
= = (
) / ,
t i
t
i
i
f
f
f
f
где
= ( , t
)
i
i k
f
f y
[17]. Определим операторы разностного дифференцирования
по пространству
1
1/2
( ) =[ ( , ) ( , )]/
,
y
i
k
i k
i
f i
f y t
f y t
h
( ) = ( 1).
y
y
f i
f i
Кратко приведем этапы построения разностной схемы для уравнения теп-
лопроводности (21). Детальное описание аппроксимации задачи для концен-
траций приведено в работе [6]. Проинтегрируем уравнение (21) по разностной
ячейке
1/2 1/2
[
,
] [ ,
] :
i
i
k k
y y
t t
1/2
1/2
1/2
1/2
( )
( )
=
=
(
)
,
= , .
y t
i
k
p
p
t
t yk i
y
t
i
k
t
y k i
c
l T c
T dydt
t
y
T l
T dydt
s l
y l
y
(30)
Подставим в равенство (30) сеточные функции и вычислим последователь-
но интегралы, стоящие в левой и правой части равенства:
1/2
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2 1/2
1/2
= [
] =
=
[(
) (
)]
[(
) (
)], = , .
2
2
y
t
y
i
k
i
i
i
t
y
y
k
i
i
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
I
dt
c
l T dy
c
l T dy
t
t
h
h
c
l
T l
T
c
l
T l
T
s l
(31)