7 / 21
О.В. Щерица, А.О. Гусев, О.С. Мажорова
124
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
Здесь
= /
k
— кусочно-постоянная функция, принимающая значения
s
при
[0,1)
y
и
l
при
(1, 2];
y
= 2 / ( );
R
= 2 / ( ).
R
На границе раз-
дела фаз (
=1
y
) условие Стефана примет вид
=1
=1
= .
s
l
s
l
y
y
T
T
d
l
y
l
y
dt
(22)
Уравнения для концентраций в переменных
( , ):
t y
(A)
(A)
(A)
(A)
,
(0,1) (1, 2),
, ;
t
D C
l C
C
y
s l
t
y
y l
y
(23)
(A)
(B)
A C
B C
(
)
(
)
,
(0,1);
s
s
s
a a C a a C
y
(24)
(B)
(B)
(B)
(B)
,
(1, 2).
l
l
l
l
l
t
l
D C
l C
C
y
t
y
y l
y
(25)
На границе раздела фаз имеем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=1
=1
= (
) , = A, B.
s j
l j
s j
l j
s j
l j
s
l
y
y
D C
D C
d
C C
j
l
y
l
y
dt
(26)
(A)
(B)
(A)
(B)
=1
(
,
,
,
, ) = 0,
=1, 2, 3.
s
s
l
l
m
y
F C C C C T
m
(27)
Граничные условия (11), (17) в переменных
( , ):
y t
*
*
=0
=2
=0
=2
=
,
=
;
s
l
s
l
y
y
y
y
k T
k T
T T
T T
y
y
l
l
(28)
(A)
( )
(A)
( )
=0
=2
= 0,
= 0,
= A, B.
s
l j
s
l j
s
l
y
y
D C
D C
j
y
y
l
l
(29)
Решить систему уравнений (21)–(29) — означает определить положение
фронта кристаллизации, распределение теплоты и концентраций каждого компо-
нента в твердой и жидкой фазах. Эта система нелинейна: от искомой скорости
движения фронта зависят длины фаз
s
l
и
,
l
l
а также функция замены переменных
( , ).
y t
Для аппроксимации уравнений (21)–(29) использовалась разностная
неявная консервативная схема, предложенная в работе [6], но модифицированная
для рассматриваемой задачи.
Разностная схема.
В области
y
введем разностную сетку
= { , 0
,
y
i
y i N
0
*
= 0,
=1,
= 2},
N
i
y
y
y
1/2
1
=
i
i
i
h y y
— шаг сетки. Пусть граница раздела фаз,
точка
=1
y
совпадает с одним из узлов этой сетки; обозначим его
*
.
i
y
Наряду с
узлами
,
i
y
введем потоковые точки
1/2
1
= (
) / 2,
i
i
i
y
y y
= 0, 1, ,
1,
i
N
и шаги