6 / 21
Об одном методе решения задачи кристаллизации многокомпонентного раствора…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
123
Аналогично получим уравнение для средней концентрации
( )
( , t),
j
C z
про-
интегрировав (4), (5) по радиусу
.
r
С учетом граничных условий запишем
( )
( )
=
,
= , ,
= A, B.
t
j
j
C
CD
s l j
z
z
(16)
Граничные условия (10) примут вид
( )
=0,
= 0,
= , ,
= A, B.
j
z L
CD
s l
j
z
(17)
На границе раздела фаз
= ( )
z t
выполнены условия Стефана:
(t)
(t)
;
s
l
s
t
z
z
T
T
k
k
z
z
(18)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(t)
(t)
(
) ,
A, B.
s j
l j
s j
l j
s j
l j
t
z
z
C
C
D
D
C C
j
z
z
(19)
В результате осесимметричная задача (2)–(11) сведена к одномерной задаче
(14)–(19). Контактный теплообмен на боковой поверхности ампулы теперь учи-
тывается в уравнении температуропроводности в виде источника теплоты, за-
висящего от температуры.
Замена переменных.
Для решения задачи (14)–(19) с внутренней подвиж-
ной границей, положение которой необходимо определять в ходе решения за-
дачи, применим метод выпрямления фронта. Для этого выполним замену неза-
висимых переменных
(t, )
z
так, чтобы в новой системе координат
( , )
t y
поло-
жение границы раздела фаз было фиксировано и совпадало с точкой
=1,
y
а
границы области, точки
= 0
z
и
= ,
z L
перешли в точки
=0
y
и
=2
y
[11]. Связь
между системами координат задается равенствами
(t),
[0,1];
t ,
( , )
(t) (
(t))( 1),
[1, 2].
y
y
t z y t
L
y
y
(20)
Якобиан преобразования (20) равен
( , ) 1
=
= ,
( , )
y t
J
z t
l
где
= ( )
l l t
— длина со-
ответствующей фазы в исходной системе координат: в твердой фазе
= = ( ),
s
l l
t
в жидкой фазе
= = ( ).
l
l l
L t
В новых переменных области
= {0 <1}
s
y
y
и
= {1< 2}
l
y
y
заняты твердой и жидкой фазами,
=
.
s
l
y
y
y
В новой системе координат задача (14)–(19) записывается в виде [6]
( ) ( )
(
),
(0,1) (1, 2),
, .
p
t
T
c
l T
T
l
T y
s l
t
y
y l
y
(21)