2 / 21
Об одном методе решения задачи кристаллизации многокомпонентного раствора…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
119
Задача Стефана относится к классу задач с подвижной внутренней грани-
цей. Фазовый переход определяется комплексом физических процессов: дина-
микой изменения температуры; динамикой изменения концентрации каждого
компонента соединения; движением границы раздела фаз. На фронте кристал-
лизации температура и концентрации удовлетворяют балансным соотношени-
ям, вытекающим из законов сохранения энергии и массы, и фазовой диаграмме
системы: как правило, достаточно сложным нелинейным соотношениям, связы-
вающим равновесные концентрации всех компонентов и температуру. Опыт
решения подобных задач [5–7, 12, 13] свидетельствует о том, что использование
алгоритмов, в основе которых лежит расщепление по физическим процессам,
может приводить к искажению физического явления: например, по результатам
расчета в системе должно происходить растворение, а в физическом процессе
происходит рост, и наоборот [14]. В связи с этим наиболее надежными метода-
ми решения термодиффузинной задачи Стефана являются алгоритмы, в кото-
рых система уравнений, описывающая процессы тепломассопереноса и движе-
ние фронта кристаллизации, решается совместно [5, 6, 13].
Численное исследование кристаллизации трехкомпонентного соединения
было проведено в работах [5, 15, 16]. Используемая математическая модель учи-
тывала диффузию в твердой и жидкой фазах и движение фронта кристаллиза-
ции, при этом распределение температуры в системе предполагалось однород-
ным по пространству, но изменяющимся во времени. Однако существует класс
задач, в которых изменение температуры на границе раздела фаз играет важную
роль [6]. В настоящей работе рассмотрен процесс кристаллизации трехкомпо-
нентного соединения в тонкой ампуле. Математическая модель процесса учи-
тывает диффузионный тепломассоперенос в твердой и жидкой фазах, движение
фронта кристаллизации, выделение теплоты в результате фазового перехода, а
также теплообмен с окружающей средой. Состояние системы можно описать
средней в сечении температурой и концентрациями. В результате осесиммет-
ричная задача сводится к одномерной, в которой распределение температуры
описывается уравнением температуропроводности с источником, возникаю-
щим вследствие учета контактного теплообмена с окружающей средой, а рас-
пределение массы — уравнениями диффузии. Для решения соответствующей
одномерной нестационарной задачи построен чисто неявный совместный алго-
ритм. Учет движения фронта кристаллизации осуществляется с помощью заме-
ны переменных типа Ландау, в результате которой граница раздела фаз остается
неподвижной на протяжении всего процесса. В расчетах использована неявная
консервативная разностная схема, предложенная в работе [6], модифицирован-
ная для учета источника теплоты в уравнении теплопроводности. Соответству-
ющая система нелинейных сеточных уравнений решается методом Ньютона
относительно вектора неизвестных, компонентами которого являются все ис-
комые функции: концентрации в жидкой и твердой фазах; поле температуры;
скорость движения фронта кристаллизации. Тем самым реализуется одновре-