12 / 21
Об одном методе решения задачи кристаллизации многокомпонентного раствора…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
129
Алгоритм решения задачи (38) на каждом временном слое состоит из при-
веденных ниже этапов.
1. Вычисление элементов матрицы Якоби
( )
'
и правых частей
( ).
В качестве начального приближения для искомых величин используется реше-
ние с предыдущего временного слоя.
2. Определение прогоночных коэффициентов
,
,
.
Сведение исход-
ной задачи к системе из шести уравнений на границе раздела фаз.
3. Расчет
(A)
0
,
s
c
(B)
0
,
s
c
0
T
,
,
t
(A)
0
,
l
c
(B)
0
.
l
c
Решение шести линейных
уравнений на границе раздела фаз.
4. Вычисление искомых функций
*
, 0 <
i
i i
и
*
< ,
i i N
,
s
l
,
l
l
.
t
5. Проверка условия сходимости итераций по методу Ньютона.
6. Переход на следующий шаг по времени.
Результаты расчетов.
В качестве примера использования разработанного
алгоритма приведем результаты моделирования процессов роста и растворения
соединений
1
A B C,
x x
фазовая диаграмма системы подробно описана в работе
[19]. Совместное определение полей температуры, концентраций и положения
фронта кристаллизации позволяет задавать начальные данные естественным
образом, без предварительного согласования.
Изотермический рост.
Для получения кристалла в режиме изотермическо-
го роста, насыщенный при температуре
1
T
раствор компонентов A и B в рас-
плаве C приводится в контакт с затравкой состава
1
A B C,
x x
и выдерживается
при постоянной температуре
0 1
=
.
T T T
Величина
> 0
T
называется степе-
нью пересыщенности расплава. Поскольку жидкая фаза пересыщена, начинает-
ся процесс кристаллизации. Основная особенность такого режима — рост кри-
сталла постоянного состава.
Рассматривалась затравка состава
1 0
0
A B C,
x
x
0
= 0, 2,
x
толщиной
=
s
l
= 30 мкм, длина жидкой фазы
=15
l
l
см, радиус ампулы 0,5 см,
= 10
T
K,
0
= 783
T
K,
*
= 500,
i
*
4
= 5 10 ,
N i
= 0,1 ,
D
t
= 5
D
t
с,
12
= 5 10
s
D
см
2
/с,
l
D
5
= 5 10
см
2
/с,
3
= 441 10
s
p
c
Дж/(г·K),
3
= 393 10
l
p
c
Дж/(г
· K),
=
s
2
2 10
(см
2
·Вт)/(г·K),
2
= 8 10
l
(см
2
·Вт)/(г·K). В этом расчете боковая по-
верхность ампулы считалась теплоизолированной, температура на торцах ампу-
лы постоянна и равна
0
.
T
Распределения концентрации компонентов AC в
твердой фазе, компонентов A и B в жидкой фазе приведены на рис. 2. Посколь-
ку раствор является пересыщенным, в жидкой фазе выстраивается концентра-
ционный градиент, способствующий росту кристалла постоянного состава
= 0,184.
e
x
Температура на фронте кристаллизации не изменяется, поэтому со-
став на границе жидкой фазы также остается постоянным.
Известны экспериментальные данные о составе выросшего кристалла. Зависи-
мость состава твердой фазы от степени первоначального пересыщения раствора
T
приведена в работах [20–22]. Расчеты проводились для
= 2, 5, 7, 10
T
K.