11 / 21
О.В. Щерица, А.О. Гусев, О.С. Мажорова
128
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
где переменные упорядочены следующим образом:
0 1
*
*
1
= ( ,
, ...,
,
,
i
i
т
* 1
, ...,
) .
N
i
Определим итерационный процесс по методу Ньютона для си-
стемы (38):
=
,
n
n
'
(39)
где
( )
'
— матрица Якоби системы (38);
1
=
;
n
n
n
— номер итерации.
На каждом шаге итерационного процесса (39) необходимо решать систему
линейных уравнений, матрица которой имеет блочную трехдиагональную
структуру с одним плотно заполненым столбцом, соответствующим неизвест-
ной скорости движения фронта
.
t
Эту систему можно записать в виде
*
*
1,
1 0,
1,
1
1,0
1,
* *
* *
* *
*
1,
0,
1,
= ,
= 0, ,
1,
1, , ;
= = 0;
= .
i
i
i
i
i
i
i
t
i
N
i
i
i
i
i
i
i
A
A A
B
i
i
i
N
A A
A
A
A
(40)
Здесь
1,
,
i
A
0,
,
i
A
1,
i
A
— матрицы
3 3;
i
— трехкомпонентный вектор;
*
1,
,
i
A
*
1,
i
A
— матрицы
3 6;
*
0,
i
A
— матрицы
6 6;
*
i
— шестикомпонент-
ный вектор. Систему уравнений (40) можно решить с помощью модифициро-
ванного метода матричной прогонки [18]. Пусть искомые
i
связаны следую-
щими соотношениями:
*
1 1
1
1
*
1 1
1
1
=
,
= 0, 1, ...,
1;
=
,
= ,
1, ...,
1.
s
s
s
i
i
t
i
i
i
l
l
l
i
i
t
i
i
i
i
i
i N N i
(41)
Здесь
i
— матрицы
3 3;
i
,
i
— трехкомпонентные векторы (
=1, ..., ).
i
N
С помощью соотношений (41) задача (40) сводится к системе уравнений на гра-
нице раздела фаз. Для этого последовательно вычислялись коэффициенты
,
s
i
,
s
i
,
s
i
*
= 0, 1, ..., ,
i
i
и
,
l
i
,
l
i
*
, = ,
1, ..., .
l
i
i N N i
Затем с использованием
коэффициентов
*
,
s
i
*
,
s
i
*
,
s
i
*
,
l
i
*
,
l
i
*
l
i
из уравнений, соответствующих гра-
нице раздела фаз
*
( = ),
i i
исключим неизвестные
* 1
,
i
* 1
.
i
В результате по-
лучим систему из шести уравнений с шестью неизвестными
*
,
i
которая реша-
ется методом Гаусса. По найденным неизвестным
*
i
с помощью прогоночных
соотношений (41) вычислим приращения
*
, 0 < ,
i
i i
и
*
< ,
i i N
,
s
l
,
l
l
t
на (
n
+ 1)-й итерации по методу Ньютона.
В качестве критерия окончания итерационного процесса используем усло-
вие
1
2
<
,
n
(42)
где
1
,
2
— величины, определяющие точность сходимости итераций.