10 / 21
Об одном методе решения задачи кристаллизации многокомпонентного раствора…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
127
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2 t
1/2
1/2 t
1/2
*
1/2
1/2
*
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
(
)
(
)
2
2
[
( )(
)
( )(
)]=
(
)
(
2
y
y
i
i
i
i
i t
i
i
i t
i
i
i
i
y
y
i
i
i
t
i
i
ii
i
i
i
i
h
h
c l
T
c l
T
c
T y
c
T y
T
T
c
c T
l
l
h l
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
)
(
) .
2
i
i
i
i
i
i
i
i
h
T
l
T
(35)
В регулярной точке уравнение (35) представляет собой схему с центральными
разностями для уравнения типа конвекция–диффузия. При
*
=
i i
к ней добавля-
ется член, обусловленный скачком термодинамических параметров на границе
раздела фаз и выделением (поглощением) теплоты при фазовом переходе.
Для аппроксимации граничных условий в точках
0
y
и
N
y
уравнение (21)
необходимо проинтегрировать с учетом (28) по отрезкам
0 1/2
[ ,
]
y y
и
1/2
[
,
].
N N
y y
В результате получим
1/2
1/2
1/2
*
0
0
1/2
1/2 1/2 0
1/2 t
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2 1/2
1/2 t
1/2
1/2
1/2
*
1/2
1/2
1/2
(
)
( )( ) =
(
)
(
);
2
2
(
)
( )(
) =
2
=
(
)
2
y
y
y
t
s
y
N
N N N t
N
N
y
y
N
N
N N
l
N
N
h
h
T
c l T c
T y
T T
l
T
l
h c
l
T c
T y
h
T
T T
l
1/2
1/2
1/2
(
).
N
N
N
N
l
T
Разностная аппроксимация уравнений диффузии (23) и (25):
( )
( )
( )
( )
1/2
1/2
1/2
1/2
t
1/2
t
1/2
0
0
(
)
(
)
(
)
(
) =
2
2
y
y
j
j
j
j
i
i
i
t
i
t
i
i
i
i
h
h
l
C
l
C
C y
C y
( )
( )
1/2
1/2
1/2
1/2
=
.
j
j
y
y
i
i
i
i
C
C
D
D
l
l
(37)
Аппроксимация граничных условий (29) получается, если в (37) при
= 0
i
и
=
i N
формально принять равными нулю члены с индексами
0 1/ 2
и
1/ 2.
N
В этом нетрудно убедиться, проинтегрировав уравнения (23) и (25) по пригра-
ничным ячейкам с учетом условий (29).
Для решения нелинейной системы уравнений (35)–(37) применим метод
Ньютона. Введем обозначения
(A)
(B)
т
= (
,
,
) ,
i
i
i
i
C C T
*
*
= 0, 1, ...,
1,
1, ..., ,
i
i
i
N
*
*
(A)
(B)
*
= (
,
,
s
s
i
i
i
C C
*
*
*
(A)
(B) т
,
,
,
) .
l
l
t
i
i
i
T C C
Запишем схему (35)–(37) в операторной
форме
( ) = 0,
(38)