где
˜
f
(
p, q, x
)
— выпуклая функция; допустимая область
X
совпадает с
областью поиска
D
. Вспомогательная задача квадратичного програм-
мирования с вектором
w
2
R
n
формулируется в виде:
min
(
n
X
j
=1
∂
˜
f
(
p, q, x
)
∂x
j
w
j
+
1
2
n
X
j
=1
(
w
j
)
2
:
a
j
≤
x
j
≤
b
j
, j
2
J
)
.
(11)
Решение задачи (11) позволяет получить
w
j
, затем определяются мно-
жители Каруша – Куна – Таккера
u
−
j
и
u
+
j
, соответствующие неравен-
ствам
x
j
+
w
j
−
b
j
≤
0
и
−
x
j
−
w
j
+
b
j
≤
0
,
j
2
J
. Функция Лагранжа
принимает вид
n
X
j
=1
"
1
2
(
w
j
)
2
+
∂
˜
f
(
p, q, x
)
∂x
j
w
j
+
u
+
j
(
a
j
−
x
j
−
w
j
) +
u
−
j
(
x
j
+
w
j
−
b
j
)
#
.
Существенно, что для минимизируемой в задаче (10) целевой
функции должны выполняться условия [23]
∂
˜
f
(
p, q, x
)
∂x
j
−
u
+
j
+
u
−
j
+
w
j
= 0
, j
2
J
;
u
+
j
≥
0
, u
+
j
(
a
j
−
x
j
−
w
j
) = 0;
u
−
j
≥
0
, u
−
j
(
x
j
+
w
j
−
b
j
) = 0
, j
2
J.
Пусть требуется решить задачу (10), выбраны числа
a
j
, b
j
,
j
2
J
,
число
β
,
0
< β <
1
, а также параметры аппроксимации
p <
0
,
q >
0
.
Алгоритм минимизации включает в себя следующие основные шаги.
0. Выбор точки
x
0
,
a
j
≤
x
0
j
≤
b
j
,
j
2
J
.
1. Если точка
x
k
построена, то необходимо вычислить вектор
w
k
=
w x
k
.
2. Определение первого значения
r
= 0
,
1
, . . . ,
при котором для
α
= (1
/
2)
r
будет выполнено неравенство
˜
f p, q, x
k
+
αw
k
≤
˜
f p, q, x
k
−
βα w
k
2
;
если такое
r
=
r
0
найдено, то принять
α
k
= 2
−
r
0
,
x
k
+1
=
x
k
+
α
k
w
k
.
Перейти к шагу 1.
3. Критерий останова
w
k
= 0
.
Локальную сходимость алгоритма минимизации при использова-
нии сглаживающих аппроксимаций критериальных функций для слу-
чая простых ограничений устанавливает следующее утверждение.
Теорема 3 [23].
Пусть выбраны параметры
p <
0
, q >
0
. Если
числа
a
j
, b
j
,
j
2
J,
конечны и градиент функции
˜
f
(
p, q, x
)
удовлетво-
ряет условию Липшица, то во всякой предельной точке последова-
тельности
x
k
, k
= 0
,
1
, . . . ,
удовлетворяются необходимые условия
минимума.
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
