функции
ϕ
на множестве
S
ϕ
, которое описывается уравнением
D
ϕ
= 0
,
сводится к вычислению условных локальных экстремумов на компакт-
ном множестве. Тогда можно считать, что
k
= 1
, и остановиться на
функции
ϕ
= (
x
2
1
+
x
2
2
) +
q
(
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
) + 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2(
σ
+
qρ
)
z.
Интересен также цилиндрический случай
k
= 0
,
q
6
= 0
и
k
6
= 0
,
q
= 0
. При
k
=
q
= 0
имеем случай линейной локализирующей
функции.
Гиперболический случай (
k >
0
,
q <
0
) сложен для исследования,
поскольку функция
ϕ
не является выпуклой, а поверхность универ-
сального сечения — компактной.
Исследование системы в эллиптическом случае.
Рассмотрим
следующую функцию, отличающуюся от функции вида (3) постоян-
ным слагаемым:
ϕ
= (
x
1
+
b
1
)
2
+ (
x
2
+
b
2
)
2
+
q
(
y
2
1
+
y
2
2
) +
q z
−
σ
q
−
ρ
2
.
Тогда
−
1
2
D
ϕ
=
σ x
1
+
b
1
2
2
+
σ x
2
+
b
2
2
2
+
q y
1
−
σb
1
2
q
2
+
+
q y
2
+
σb
2
2
q
2
+
βq z
−
σ
+
qρ
2
q
2
−
R
2
,
где
R
2
=
σ
4
(
b
2
1
+
b
2
2
) +
σ
2
4
q
(
b
2
1
+
b
2
2
) +
β
4
q
(
σ
+
qρ
)
2
.
(4)
В результате получаем задачу
(
x
1
+
b
1
)
2
+ (
x
2
+
b
2
)
2
+
q
(
y
2
1
+
y
2
2
) +
q z
−
σ
q
−
ρ
2
→
extr;
σ x
1
+
b
1
2
2
+
σ x
2
+
b
2
2
2
+
q y
1
−
σb
1
2
q
2
+
+
q y
2
+
σb
2
2
q
2
+
βq z
−
σ
+
qρ
2
q
2
=
R
2
.
Выполним замену переменных:
X
1
=
x
+
b
1
,
X
2
=
x
+
b
2
,
Y
1
=
√
qy
1
,
Y
2
=
√
qy
2
,
Z
=
√
q z
−
σ
+
qρ
2
√
q
. Получим следующую задачу:
X
2
1
+
X
2
2
+
Y
2
1
+
Y
2
2
+
Z
2
→
extr;
σ X
1
−
b
1
2
2
+
σ X
2
−
b
2
2
2
+
Y
1
−
σb
1
2
√
q
2
+
+
Y
2
+
σb
2
2
√
q
2
+
β Z
+
σ
+
qρ
2
√
q
2
=
R
2
.
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
