коэффициент поверхностного натяжения;
σ
— поверхностная плот-
ность заряда на границе раздела;
ρ
0
,
ρ
— плотность верхней и нижней
жидкостей;
g
— ускорение свободного падения.
Уравнение (1) можно переписать в неявном виде:
Φ (
w, θ
) = 0
,
Re
w >
0
, w
=
r
1
−
iω
νk
2
, θ
=
U
νk
,
Φ (
w, θ
) = (1 +
w
2
)
2
+
α
(1
−
w
2
±
iθ
)
2
−
4
w
+ Ω (
k
)
.
(2)
Знаки
±
в функции
Φ (
w, θ
)
соответствуют волнам, распространя-
ющимся влево и вправо (для определенности можно считать
U
>
0)
.
Для малых значений параметра
θ
можно выполнить разложение реше-
ния:
w
≈
w
0
+
dw
dθ
0
θ
=
w
0
−
∂
Φ (
w, θ
)/
∂θ
∂
Φ (
w, θ
)/
∂w
0
θ
=
=
w
0
iαθ
2
1
−
w
2
0
(1 +
α
)
w
3
0
+ (1
−
α
)
w
0
−
1
.
(3)
где индексом “0” обозначены соответствующие величины при
θ
= 0
.
Видно, что вблизи точки, для которой
(1 +
α
)
w
3
0
+ (1
−
α
)
w
0
−
1 = 0
,
(4)
коэффициент перед параметром
θ
обращается в бесконечность.
Вообще говоря, если в самом общем виде дисперсионное соотно-
шение записать как неявную функцию
Φ (
ω, k
) = 0
,
то необходимым условием бифуркации решения является
∂ω
∂k
→ ∞ )
∂
Φ
∂ω
∂
Φ
∂k
−
1
= 0
.
(5)
Применение условия (5) к неявной функции вида (2) при
θ
= 0
приводит к уравнению (4), которым определяется положение точки
бифуркации решения дисперсионного уравнения при
θ
= 0
.
Схема расщепления периодической моды приведена на рис. 1. В си-
лу симметрии уравнения (5) при
θ
= 0
периодические затухающие
волны, распространяющиеся вправо и влево, имеют один и тот же
коэффициент затухания, но противоположные по знаку циклические
частоты и поэтому допускают слияние периодических ветвей в точке
бифуркации с образованием апериодических волн [4]. При выполне-
нии условия (4) наличие даже малой фоновой скорости приводит к
устранению точки бифуркации, решение дисперсионного уравнения
становится гладким, а мода, отвечающая периодическим затухающим
колебаниям, расщепляется на две в соответствии с соотношением (3).
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
